〖数学算法〗开平方的七种算法

   算法与数学之美   2019-07-30

sqrt()函数,是绝大部分语言支持的常用函数,它实现的是开方运算;开方运算最早是在我国魏晋时数学家刘徽所著的《九章算术》被提及。今天写了几个函数加上国外大神的几个神级程序带大家领略sqrt的神奇之处。


1.古人算法(暴力法)

原理:从0开始0.00001,000002...一个一个试,直到找到x的平方根,代码如下:


public class APIsqrt {

static double baoliSqrt(double x) {

final double _JINGDU = 1e-6;

double i;

for (i = 0; Math.abs(x - i * i) > _JINGDU; i += _JINGDU)

;

return i;

}

public static void main(String[] args) {

double x = 3;

double root = baoliSqrt(x);

System.out.println(root);

}

}


测试结果:

1.7320509999476947


2.牛顿迭代法

计算机科班出身的童鞋可能首先会想到的是《数值分析》中的牛顿迭代法求平方根。原理是:随意选一个数比如说8,要求根号3,我们可以这么算:


(8 + 3/8) = 4.1875


(4.1875 + 3/4.1875) = 2.4519


(2.4519 + 3/2.4519) = 1.837


(1.837 + 3/1.837) = 1.735


做了4步基本算出了近似值了,这种迭代的方式就是传说中的牛顿迭代法了,代码如下:



public class APIsqrt {

static double newtonSqrt(double x) {

if (x < 0) {

System.out.println("负数没事开什么方");

return -1;

}

if (x == 0)

return 0;

double _avg = x;

double last_avg = Double.MAX_VALUE;

final double _JINGDU = 1e-6;

while (Math.abs(_avg - last_avg) > _JINGDU) {

last_avg = _avg;

_avg = (_avg + x / _avg) / 2;

}

return _avg;

}

public static void main(String[] args) {

double x = 3;

double root = newtonSqrt(x);

System.out.println(root);

}

}

测试结果:


1.7320508075688772



3.暴力-牛顿综合法

原理:还是以根号3为例,先用暴力法讲根号3逼近到1.7,然后再利用上述的牛顿迭代法。虽然没有用牛顿迭代好,但是也为我们提供一种思路。代码如下:



public class APIsqrt {

static double baoliAndNewTonSqrt(double x) {

if (x < 0) {

System.out.println("负数没事开什么方");

return -1;

}

if (x == 0)

return 0;

double i = 0;

double _avg;

double last_avg = Double.MAX_VALUE;

for (i = 0; i*i < x; i += 0.1);

_avg = i;

final double _JINGDU = 1e-6;

while (Math.abs(_avg - last_avg) > _JINGDU) {

last_avg = _avg;

_avg = (_avg + x / _avg) / 2;

}

return _avg;

}

public static void main(String[] args) {

double x = 3;

double root = baoliAndNewTonSqrt(x);

System.out.println(root);

}

}

测试结果:


1.7320508075689423




4.二分开方法

原理:还是以3举例:


(0+3)/2 = 1.5, 1.5^2 = 2.25, 2.25 < 3;


(1.5+3)/2 = 2.25, 2.25^2 = 5.0625, 5.0625 > 3;


(1.5+2.25)/2 = 1.875, 1.875^2 = 3.515625; 3.515625>3;


.


.


.


直到前后两次平均值只差小于自定义精度为止,代码如下:



public class APIsqrt {

static double erfenSqrt(double x) {

if (x < 0) {

System.out.println("负数没事开什么方");

return -1;

}

if (x == 0)

return 0;

final double _JINGDU = 1e-6;

double _low = 0;

double _high = x;

double _mid = Double.MAX_VALUE;

double last_mid = Double.MIN_VALUE;

while (Math.abs(_mid - last_mid) > _JINGDU) {

last_mid = _mid;

_mid = (_low + _high) / 2;

if (_mid * _mid > x)

_high = _mid;

if (_mid * _mid < x)

_low = _mid;

}

return _mid;

}

public static void main(String[] args) {

double x = 3;

double root = erfenSqrt(x);

System.out.println(root);

}

}

测试结果:


1.732051134109497




5.计算 (int)(sqrt(x))算法

PS:此算法非博主所写

原理:空间换时间,细节请大家自行探究,代码如下:


public class APIsqrt2 {

final static int[] table = { 0, 16, 22, 27, 32, 35, 39, 42, 45, 48, 50, 53,

55, 57, 59, 61, 64, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 76, 78, 80, 81, 83, 84,

86, 87, 89, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 104,

106, 107, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119,

120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 128, 129, 130, 131, 132,

133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 144,

145, 146, 147, 148, 149, 150, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 155,

156, 157, 158, 159, 160, 160, 161, 162, 163, 163, 164, 165, 166,

167, 167, 168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 173, 174, 175, 176,

176, 177, 178, 178, 179, 180, 181, 181, 182, 183, 183, 184, 185,

185, 186, 187, 187, 188, 189, 189, 190, 191, 192, 192, 193, 193,

194, 195, 195, 196, 197, 197, 198, 199, 199, 200, 201, 201, 202,

203, 203, 204, 204, 205, 206, 206, 207, 208, 208, 209, 209, 210,

211, 211, 212, 212, 213, 214, 214, 215, 215, 216, 217, 217, 218,

218, 219, 219, 220, 221, 221, 222, 222, 223, 224, 224, 225, 225,

226, 226, 227, 227, 228, 229, 229, 230, 230, 231, 231, 232, 232,

233, 234, 234, 235, 235, 236, 236, 237, 237, 238, 238, 239, 240,

240, 241, 241, 242, 242, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246, 246,

247, 247, 248, 248, 249, 249, 250, 250, 251, 251, 252, 252, 253,

253, 254, 254, 255 };

/**

* A faster replacement for (int)(java.lang.Math.sqrt(x)). Completely

* accurate for x < 2147483648 (i.e. 2^31)...

*/

static int sqrt(int x) {

int xn;

if (x >= 0x10000) {

if (x >= 0x1000000) {

if (x >= 0x10000000) {

if (x >= 0x40000000) {

xn = table[x >> 24] << 8;

} else {

xn = table[x >> 22] << 7;

}

} else {

if (x >= 0x4000000) {

xn = table[x >> 20] << 6;

} else {

xn = table[x >> 18] << 5;

}

}

xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;

xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;

return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;

} else {

if (x >= 0x100000) {

if (x >= 0x400000) {

xn = table[x >> 16] << 4;

} else {

xn = table[x >> 14] << 3;

}

} else {

if (x >= 0x40000) {

xn = table[x >> 12] << 2;

} else {

xn = table[x >> 10] << 1;

}

}

xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;

return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;

}

} else {

if (x >= 0x100) {

if (x >= 0x1000) {

if (x >= 0x4000) {

xn = (table[x >> 8]) + 1;

} else {

xn = (table[x >> 6] >> 1) + 1;

}

} else {

if (x >= 0x400) {

xn = (table[x >> 4] >> 2) + 1;

} else {

xn = (table[x >> 2] >> 3) + 1;

}

}

return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;

} else {

if (x >= 0) {

return table[x] >> 4;

}

}

}

return -1;

}

public static void main(String[] args){

System.out.println(sqrt(65));

}

}

测试结果:8



6.最快的sqrt算法

PS:此算法非博主所写

这个算法很有名,大家可能也见过,作者是开发游戏的,图形算法中经常用到sqrt,作者才写了一个神级算法,和他那神秘的0x5f3759df,代码如下



#include

float InvSqrt(float x)

{

float xhalf = 0.5f*x;

int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE

i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0

x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float

x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy

return x;

}

int main()

{

printf("%lf",1/InvSqrt(3));

return 0;

}

测试结果:



感兴趣的朋友可以参考https://wenku.baidu.com/view/a0174fa20029bd64783e2cc0.html 是作者解释这个算法的14页论文《Fast Inverse Square Root》




7.一个与算法6相似的算法

PS:此算法非博主所写

代码如下:


#include

float SquareRootFloat(float number) {

long i;

float x, y;

const float f = 1.5F;

x = number * 0.5F;

y = number;

i = * ( long * ) &y;

i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

y = * ( float * ) &i;

y = y * ( f - ( x * y * y ) );

y = y * ( f - ( x * y * y ) );

return number * y;

}

int main()

{

printf("%f",SquareRootFloat(3));

return 0;

}

测试结果:

————

编辑 ∑Gemini

来源:CSDN


更多精彩:

?泰勒定理的奇闻轶事

?丘成桐:漫谈微分几何

?Leibniz 如何想出微积分?(一)

?线性相关和秩的物理意义

?数学史上你认为最丑陋的公式是什么?

?陶哲轩谈什么是好的数学

?田渊栋:数学的用处(下篇)

?你绝对没想过原来数学家这么流氓,一言不合就进行暴力证明

?世界上最牛的五篇博士论文

?数学中有哪些巧合让人眼前一亮?

?算法立功!清华毕业教授美国被抢车,警察无能为力自己用“贪心算法”找回

?学术史上的奇文:怎样用数学抓狮子

?台大教授的反思:最难的一课 我们却没教给学生

?麻省理工学院(MIT)研究生学习指导—— 怎样做研究生

?分享 数学,常识和运气 ——投资大师詹姆斯·西蒙斯2010年在MIT的讲座


算法数学之美微信公众号欢迎赐稿

稿件涉及数学、物理、算法、计算机、编程等相关领域,经采用我们将奉上稿酬。

投稿邮箱:math_alg@163.com

大家都在看换一换

同期内容